股票市场下鞅

『壹』 鞅过程与马尔科夫过程的关系

鞅和马尔可夫过程没有包含的关系。因为鞅代表的是公平游戏，而马尔可夫过程侧重过程无记忆性。两者没有内在联系。

鞅（martingale）：如果随机过程X(t)满足对任意的s<t，都满足，则称为鞅。

直观上而言，已知鞅过程在某一时刻的值时，其任意之后时刻的条件期望为这一时刻的值。从赌徒的角度来看，它是一个公平的游戏。

举例而言，如果我们在玩摇骰子比大小的游戏，每一轮输家要给赢家一元钱。假设游戏公平，在第十局结束后，你已经发现自己赢了4元，在十一局时，由于游戏的公平性，你有一半几率赢一元，也有一半几率输一元。此时你在第十一局结束后收益的条件期望为4元。甚至，在第二十局时你收益的期望依然是4元。从第十局以后，无论局数为多少，你的条件期望都会等于在第十局的收益。此时你的收益就是一个鞅过程。

马尔可夫过程（Markov Process）：如果随机过程X(n)满足对任意时刻，给过去全部经历的路程，其分布与给最近一点的位置相同，即。

直观上而言，如果我要研究一个马尔可夫过程未来的发展，你给我这个过程经历的路程与给我你最后观察到的点的位置是等价的，即拥有路程并不能带来更多的信息。这或许有点难以理解，但如果你假设股票的价格是马尔可夫过程，那么你做决策仅仅在乎此时的股票价格而不会在乎股票整体的走势。这说明，马尔可夫过程侧重于过程的无记忆性。

举例而言，小红家住在10楼，她可以坐电梯或者走楼梯下楼。但是楼梯口某个位置特别暗，有可能会在那栽跟头。如果我们假设这是个马尔可夫过程，当我们观察到小红今天走楼梯下楼时，我们就会说小红今天有几率p在那边摔倒，此时摔倒的几率为一个常数。转而言之，我们并不在乎小红走过多少次楼梯口，我们假设她永远不会从上次的摔倒中学习。也就是说，小红在楼梯口摔了一次与摔了十次后，只要观察到她走楼梯，她就有相同的机会在同样的地方栽跟头。

对于布朗运动而言，其既是鞅又是马尔可夫过程。

由于布朗运动的增量独立且均值为0的特性，（即与独立且均值为0）。我们很容易证明布朗运动即是鞅又是马尔可夫过程。但对于一般的情形，鞅与马尔可夫过程并没有更多相关性。究其原因，是因为两者的侧重点不同，鞅侧重公平性，而马尔可夫过程侧重无记忆性。这两者并无联系。

两者无包含关系举例。

是马尔可夫却不是鞅的过程：带飘移的布朗运动：。此时无记忆性并不违背，因为与都具有独立增量，因此知道路径并不会比知道最近的点要优越。但是这个过程却不是鞅，因为它并不公平。由于飘移项的引入，其均值会一直增大，在赌博中，如果你的期望收益一直变大，那这个游戏一定不会是公平的。因此，这个过程是马尔可夫却不是鞅。

是鞅却不是马尔可夫的过程：过程相关的Ito积分：。此时在t时刻的增量会是与过去所有路径的积分相关的随机变量。此时仅仅知道最近一点的观察值不足以给出很好的预测，我们需要知道全部的路程。但这个过程却会是鞅，因为每一个增量都可以表示成路径和布朗运动增量的和，而布朗运动均值为零，故其增量会为零，不违背鞅的性质。因此，这个过程是鞅而不是马尔可夫。

『贰』 什么是鞅理论

在现代金融市场理论的发展里有一种理论称之为鞅理论，这是哈里森和克雷普斯(Harrison & Kreps, 1979) 从基本概念上对风险中性定价方法进行了阐述，他们的思想后来成为著名的鞅理论，鞅理论现在普遍应用于金融市场研究的许多领域。

简言之，鞅理论的核心就是研究投资期权和投资收益均是时间的增函数，且投资期权曲线相切于投资收益曲线，在切点处投资机会成本最小，故该时刻就是最佳投资时刻的理论。

当然把这个完全弄清楚了也就离金融家不远了哦。

『叁』 如何利用凯利公式控制股票仓位

在我们去进行股票，期货投资的时候，经常听到有人说到金字塔加仓法，当亏损的时候，每次亏损都加大我们的仓位到原来的总仓位的两倍，这样，一方面可以摊薄我们的平仓持仓成本，另一方面，当行情反转的时候，我们就更容易回本，甚至收回收益；而当盈利的时候，我们去增加仓位就需要小心，可以每次增加仓位为原来的 1/2，因为股价高的时候，它回落起来也更容易，因此，我们以比较小的仓位去进行加仓，可以避免我们的持仓成本太高。

乍一听，是这么一回事，而且不少我们投资者也会采用这样的办法去应对自己的投资策略。但是，这样做是否合理，能不能从数学，从数据模拟上针对我们这样的投资策略去进行一个合理的分析呢？这里，笔者试图以掷硬币为例，来介绍鞅与反鞅策略。对于掷硬币，这里做一个假定，假如正面为赢，反面为输，赢的话，可以得到多一枚硬币，输的话，付出的硬币就此输去。

鞅策略

有一种投注方法，当我们每次输了的时候，那么我们下次就加倍投注，譬如，第一次如果投入一枚硬币，那么下一次我们就投入两枚硬币，赢了的话，我们不仅可以将输了的一枚硬币成本覆盖，还能多赚一枚；如果还是输的话，那么下次我们投注 4 枚硬币，赢了的话，不仅可以覆盖我们付出的 3 枚硬币，还能多赚一枚硬币；以这 样的策略一直往下，如果能赢，我们总是能多赢一枚硬币。

但是，这样的策略隐含了一个假设，那就是它默认我们的资金是无限的，当连续输的情况出现的时候，是否还坚持这样的策略，哪怕我们仍然想坚持，但是本金可能不足够了。譬如，假设我们有100 枚初始硬币，经过这样的 掷硬币**，如果出现连续7次皆负的情况，我们的本金就全部输掉了。也许你会认为，连续7次硬币都出现反面概率不大，但是，当我们参与这样的**次数足够多的时候，连续7次 或更多次硬币出现的概率会变得非常大，譬如，掷一百次硬币实验中，连续7次或更多次出现反面的概率是：

因此，当我们知道了赔率，胜率，完全可以利用凯利公式对我们的投资进行指导，去获得更多的收益。譬如，读者可能已经发现了，在我们采用反鞅策略去进行**的时候，一开始风险加大的时候，收益变多；但是超过某个阈值的时候，很容易就破产，这里，我们采用凯利公式计算一下，在我们之前举例的情况下，投注最佳比例是多少？

在示例中，掷硬币，每猜对一次的概率都是 0.5, 猜对了赢得 1.25 元，输了就投入全部没有，因此，我们有 b=frac{W}{L} = frac{1.25}{1} = 1.25, p, q均为 0.5,L=1, 因此 x=(1.25*0.5 - 0.5)/1.25/1=0.1,从我们实验的结果可以看到，确实，当风险度为 0.1 的时候，收入最多，与我们之前实验结果相符。

讨论

知道了凯利公式，也许会有读者会想到，通过凯利公式，完全可以指导我们去做投资，譬如，股票市场，和**差异也不算很大，甚至有人说，股票市场就是一个大赌场。但是，当读者真的想套用凯利公式的时候，会发现有很大的困难，困难来自于投资的胜率和赔率的不确定性。当我们去投资某支股票的时候，是赚是亏，赚多少，亏多少，并没有一个确定的值，一个耗时耗力的做法是去做仿真交易或者小资金去投资，根据一段时间后统计投资成功率的结果来决定之后投资比例。但是，一方面这样的做法相当耗时，另一方面，不同时期，股票市场风格差异，按照彼时投资结果去作为此时投资结果的参考，彼时投资结果是否能正确反应当前市场的风格，可能我们心里要打一个问号了。那这时候可能读者就会问，那我们去了解凯利公式有什么用呢？此时，程序化交易的优势也就体现出来了。当我们的投资理念确定好之后，用代码将其建模并回测，完全可以在历史的不同时间段内进行回测，得到不同市场风格下，策略的胜率和赔率情况，之后，当确定回测结果没有其他问题的时候，我们就可以按照最佳的投资比例去控制我们利用该策略去投资股票市场的仓位，以期得到最佳的回报。

即便如此，直接套用凯利公式，可能依然是不合适的，在任何时候，我们都需要将风险的意识放在最前面，风险占据的权重可能在我们投资决策中，占据的比例比收益更大，以比较小的风险作为投资决策，可能会更合适。凯利公式考虑的是理论上的胜率赔率，实际情况可能会更差，当考虑到手续费，滑点，回测与实盘其他差异后，实际情况后比回测差基本上是百分百的，因此，我们是不是应该用相比凯利公司更小的风险度作为我们投资的比例呢？

最后，强烈推荐《资金管理方法及其应用》-- 安德烈 昂格尔，如果读者有时间，有兴趣， 强烈推荐大家去仔细研读参考书籍，对于风险控制，仓位管理，作者给了很好的介绍。另外，海龟交易法的仓位管理，读者如果阅读了本文再去看它的仓位管理方式，也许会有更大的收获。

『肆』 什么是鞅理论

在现代金融市场理论的发展里有一种理论称之为鞅理论，这是哈里森和克雷普斯(Harrison
&
Kreps,
1979)
从基本概念上对风险中性定价方法进行了阐述，他们的思想后来成为著名的鞅理论，鞅理论现在普遍应用于金融市场研究的许多领域。
简言之，鞅理论的核心就是研究投资期权和投资收益均是时间的增函数，且投资期权曲线相切于投资收益曲线，在切点处投资机会成本最小，故该时刻就是最佳投资时刻的理论。
当然把这个完全弄清楚了也就离金融家不远了哦。

『伍』 怎样理解股票价格遵循随机漫步或者下鞅

随机漫步是一个缺陷很大的理论，不承认趋势是主要缺陷之一。
随机漫步理论总的观点
买方与卖方两样聪明机智，卖方也与买方同样聪明机智。他们都能够接触同样的情报，因此在买卖双方都认为价格公平合理时，交易才会完成；股价确切地反应股票实质。结果，股价无法在买卖双方能够猜测的单纯，有系统情况下变动。

股价变动基本上是有随机的说法的真正涵义是，没有什么单方能够战胜股市，股价早就反映一切了，而且股价不会有系统地变动。天真的选股方法，如对着报纸的股票版丢掷飞镖，也照样可以选出战胜市场的投资组合。

随机漫步理论(Random Walk Theory)认为，证券价格的波动是随机的，像一个在广场上行走的人一样，价格的下一步将走向哪里，是没有规律的。证券市场中，价格的走向受到多方面因素的影响。一件不起眼的小事也可能对市场产生巨大的影响。从长时间的价格走势图上也可以看出，价格的上下起伏的机会差不多是均等的。
随机漫步理论指出，股票市场内有成千上万的精明人士，每一个人都懂得分析，而且资料流入市场都是公开的，所有人都可以知道，并无什么秘密可言。因此，股票现在的价格就已经反映了供求关系，或者离本身价值不会太远。所谓内在价值的衡量方法就是看每股资产值、市盈率、派息率等基本因素来决定。这些因素亦非什么大秘密。现时股票的市价根本已经代表了千万精明人士的看法，构成了一个合理价位。市价会围绕着内在价值而上下波动。这些波动却是随意而没有任何轨迹可循。造成波动的原因是：
（1）新的经济、政治新闻消息是随意，并无固定地流入市场。
（2）这些消息使基本分析人士重新估计股票的价值，而作出买卖方针，致使股票发生新变化。
（3）因为这些消息无迹可寻，是突然而来，事前并无人能够预告估计，股票走势推测这回事并不可以成立。
（4）既然所有股价在市场上的价钱已经反映其基本价值。这个价值是公平的由买卖双方决定，这个价值就不会再出现变动，除非突发消息如战争、收购、合并、加息减息、石油战等利好或利空等消息出现才会再次波动。但下一次的消息是利好或利空大家都不知道，所以股票现时是没有记忆系统的。昨日升并不代表今日升。今日跌，明日可以升亦可以跌。每日与另一日之间的升跌并无相关。
（5）既然股价是没有记忆系统的，企图用股价波动找出一个原理去战胜市场，赢得大市，全部肯定失败。因为股票价格完全没有方向，随机漫步，乱升乱跌。我们无法预知股市去向，无人肯定一定是赢家，亦无人一定会输。
随机漫步理论对图表派无疑是一个正面大敌，如果随机漫步理论成立，所有股票专家都无立足之地。所以不少学者曾经进行研究，看这个理论的可信程度。

『陆』 谁能告诉我鞅在金融中的应用有哪些

严格数学意义上讲，定义鞅需要测度论的知识..用途，可真是太多了.应用，金融工程（用非常高深的数学建模来构造足以化解有价证券市场涨跌风险的投资组合）等等。像给期权等金融衍生物定价，包括著名的布莱克-斯科尔斯公式，都必须使用鞅来构造数学模型

『柒』 "股票价格是鞅(martingales)"是什么意识

鞅是一个随机过程：已知过程在时刻s之前的变化规律的条件下 ，过程在将来某一时刻t的期望值等于过程在时刻s的值。

不是把股票价格比做鞅，而是说股票价格根本就是一个鞅——你即使了解了某股票全部的历史变化规律，那么利用这些规律来投资的期望超额收益还是零。

也就是说，你看到了股价的不断波动（所谓趋势）。但是，你关于趋势的信息不可能为未来的投资增加收益，特别地，如果存在手续费或者税金，收益还是负的。