股票市場下鞅

『壹』 鞅過程與馬爾科夫過程的關系

鞅和馬爾可夫過程沒有包含的關系。因為鞅代表的是公平游戲，而馬爾可夫過程側重過程無記憶性。兩者沒有內在聯系。

鞅（martingale）：如果隨機過程X(t)滿足對任意的s<t，都滿足，則稱為鞅。

直觀上而言，已知鞅過程在某一時刻的值時，其任意之後時刻的條件期望為這一時刻的值。從賭徒的角度來看，它是一個公平的游戲。

舉例而言，如果我們在玩搖骰子比大小的游戲，每一輪輸家要給贏家一元錢。假設游戲公平，在第十局結束後，你已經發現自己贏了4元，在十一局時，由於游戲的公平性，你有一半幾率贏一元，也有一半幾率輸一元。此時你在第十一局結束後收益的條件期望為4元。甚至，在第二十局時你收益的期望依然是4元。從第十局以後，無論局數為多少，你的條件期望都會等於在第十局的收益。此時你的收益就是一個鞅過程。

馬爾可夫過程（Markov Process）：如果隨機過程X(n)滿足對任意時刻，給過去全部經歷的路程，其分布與給最近一點的位置相同，即。

直觀上而言，如果我要研究一個馬爾可夫過程未來的發展，你給我這個過程經歷的路程與給我你最後觀察到的點的位置是等價的，即擁有路程並不能帶來更多的信息。這或許有點難以理解，但如果你假設股票的價格是馬爾可夫過程，那麼你做決策僅僅在乎此時的股票價格而不會在乎股票整體的走勢。這說明，馬爾可夫過程側重於過程的無記憶性。

舉例而言，小紅家住在10樓，她可以坐電梯或者走樓梯下樓。但是樓梯口某個位置特別暗，有可能會在那栽跟頭。如果我們假設這是個馬爾可夫過程，當我們觀察到小紅今天走樓梯下樓時，我們就會說小紅今天有幾率p在那邊摔倒，此時摔倒的幾率為一個常數。轉而言之，我們並不在乎小紅走過多少次樓梯口，我們假設她永遠不會從上次的摔倒中學習。也就是說，小紅在樓梯口摔了一次與摔了十次後，只要觀察到她走樓梯，她就有相同的機會在同樣的地方栽跟頭。

對於布朗運動而言，其既是鞅又是馬爾可夫過程。

由於布朗運動的增量獨立且均值為0的特性，（即與獨立且均值為0）。我們很容易證明布朗運動即是鞅又是馬爾可夫過程。但對於一般的情形，鞅與馬爾可夫過程並沒有更多相關性。究其原因，是因為兩者的側重點不同，鞅側重公平性，而馬爾可夫過程側重無記憶性。這兩者並無聯系。

兩者無包含關系舉例。

是馬爾可夫卻不是鞅的過程：帶飄移的布朗運動：。此時無記憶性並不違背，因為與都具有獨立增量，因此知道路徑並不會比知道最近的點要優越。但是這個過程卻不是鞅，因為它並不公平。由於飄移項的引入，其均值會一直增大，在賭博中，如果你的期望收益一直變大，那這個游戲一定不會是公平的。因此，這個過程是馬爾可夫卻不是鞅。

是鞅卻不是馬爾可夫的過程：過程相關的Ito積分：。此時在t時刻的增量會是與過去所有路徑的積分相關的隨機變數。此時僅僅知道最近一點的觀察值不足以給出很好的預測，我們需要知道全部的路程。但這個過程卻會是鞅，因為每一個增量都可以表示成路徑和布朗運動增量的和，而布朗運動均值為零，故其增量會為零，不違背鞅的性質。因此，這個過程是鞅而不是馬爾可夫。

『貳』 什麼是鞅理論

在現代金融市場理論的發展里有一種理論稱之為鞅理論，這是哈里森和克雷普斯(Harrison & Kreps, 1979) 從基本概念上對風險中性定價方法進行了闡述，他們的思想後來成為著名的鞅理論，鞅理論現在普遍應用於金融市場研究的許多領域。

簡言之，鞅理論的核心就是研究投資期權和投資收益均是時間的增函數，且投資期權曲線相切於投資收益曲線，在切點處投資機會成本最小，故該時刻就是最佳投資時刻的理論。

當然把這個完全弄清楚了也就離金融家不遠了哦。

『叄』 如何利用凱利公式控制股票倉位

在我們去進行股票，期貨投資的時候，經常聽到有人說到金字塔加倉法，當虧損的時候，每次虧損都加大我們的倉位到原來的總倉位的兩倍，這樣，一方面可以攤薄我們的平倉持倉成本，另一方面，當行情反轉的時候，我們就更容易回本，甚至收回收益；而當盈利的時候，我們去增加倉位就需要小心，可以每次增加倉位為原來的 1/2，因為股價高的時候，它回落起來也更容易，因此，我們以比較小的倉位去進行加倉，可以避免我們的持倉成本太高。

乍一聽，是這么一回事，而且不少我們投資者也會採用這樣的辦法去應對自己的投資策略。但是，這樣做是否合理，能不能從數學，從數據模擬上針對我們這樣的投資策略去進行一個合理的分析呢？這里，筆者試圖以擲硬幣為例，來介紹鞅與反鞅策略。對於擲硬幣，這里做一個假定，假如正面為贏，反面為輸，贏的話，可以得到多一枚硬幣，輸的話，付出的硬幣就此輸去。

鞅策略

有一種投注方法，當我們每次輸了的時候，那麼我們下次就加倍投注，譬如，第一次如果投入一枚硬幣，那麼下一次我們就投入兩枚硬幣，贏了的話，我們不僅可以將輸了的一枚硬幣成本覆蓋，還能多賺一枚；如果還是輸的話，那麼下次我們投注 4 枚硬幣，贏了的話，不僅可以覆蓋我們付出的 3 枚硬幣，還能多賺一枚硬幣；以這 樣的策略一直往下，如果能贏，我們總是能多贏一枚硬幣。

但是，這樣的策略隱含了一個假設，那就是它默認我們的資金是無限的，當連續輸的情況出現的時候，是否還堅持這樣的策略，哪怕我們仍然想堅持，但是本金可能不足夠了。譬如，假設我們有100 枚初始硬幣，經過這樣的 擲硬幣**，如果出現連續7次皆負的情況，我們的本金就全部輸掉了。也許你會認為，連續7次硬幣都出現反面概率不大，但是，當我們參與這樣的**次數足夠多的時候，連續7次 或更多次硬幣出現的概率會變得非常大，譬如，擲一百次硬幣實驗中，連續7次或更多次出現反面的概率是：

因此，當我們知道了賠率，勝率，完全可以利用凱利公式對我們的投資進行指導，去獲得更多的收益。譬如，讀者可能已經發現了，在我們採用反鞅策略去進行**的時候，一開始風險加大的時候，收益變多；但是超過某個閾值的時候，很容易就破產，這里，我們採用凱利公式計算一下，在我們之前舉例的情況下，投注最佳比例是多少？

在示例中，擲硬幣，每猜對一次的概率都是 0.5, 猜對了贏得 1.25 元，輸了就投入全部沒有，因此，我們有 b=frac{W}{L} = frac{1.25}{1} = 1.25, p, q均為 0.5,L=1, 因此 x=(1.25*0.5 - 0.5)/1.25/1=0.1,從我們實驗的結果可以看到，確實，當風險度為 0.1 的時候，收入最多，與我們之前實驗結果相符。

討論

知道了凱利公式，也許會有讀者會想到，通過凱利公式，完全可以指導我們去做投資，譬如，股票市場，和**差異也不算很大，甚至有人說，股票市場就是一個大賭場。但是，當讀者真的想套用凱利公式的時候，會發現有很大的困難，困難來自於投資的勝率和賠率的不確定性。當我們去投資某支股票的時候，是賺是虧，賺多少，虧多少，並沒有一個確定的值，一個耗時耗力的做法是去做模擬交易或者小資金去投資，根據一段時間後統計投資成功率的結果來決定之後投資比例。但是，一方面這樣的做法相當耗時，另一方面，不同時期，股票市場風格差異，按照彼時投資結果去作為此時投資結果的參考，彼時投資結果是否能正確反應當前市場的風格，可能我們心裡要打一個問號了。那這時候可能讀者就會問，那我們去了解凱利公式有什麼用呢？此時，程序化交易的優勢也就體現出來了。當我們的投資理念確定好之後，用代碼將其建模並回測，完全可以在歷史的不同時間段內進行回測，得到不同市場風格下，策略的勝率和賠率情況，之後，當確定回測結果沒有其他問題的時候，我們就可以按照最佳的投資比例去控制我們利用該策略去投資股票市場的倉位，以期得到最佳的回報。

即便如此，直接套用凱利公式，可能依然是不合適的，在任何時候，我們都需要將風險的意識放在最前面，風險占據的權重可能在我們投資決策中，占據的比例比收益更大，以比較小的風險作為投資決策，可能會更合適。凱利公式考慮的是理論上的勝率賠率，實際情況可能會更差，當考慮到手續費，滑點，回測與實盤其他差異後，實際情況後比回測差基本上是百分百的，因此，我們是不是應該用相比凱利公司更小的風險度作為我們投資的比例呢？

最後，強烈推薦《資金管理方法及其應用》-- 安德烈 昂格爾，如果讀者有時間，有興趣， 強烈推薦大家去仔細研讀參考書籍，對於風險控制，倉位管理，作者給了很好的介紹。另外，海龜交易法的倉位管理，讀者如果閱讀了本文再去看它的倉位管理方式，也許會有更大的收獲。

『肆』 什麼是鞅理論

在現代金融市場理論的發展里有一種理論稱之為鞅理論，這是哈里森和克雷普斯(Harrison
&
Kreps,
1979)
從基本概念上對風險中性定價方法進行了闡述，他們的思想後來成為著名的鞅理論，鞅理論現在普遍應用於金融市場研究的許多領域。
簡言之，鞅理論的核心就是研究投資期權和投資收益均是時間的增函數，且投資期權曲線相切於投資收益曲線，在切點處投資機會成本最小，故該時刻就是最佳投資時刻的理論。
當然把這個完全弄清楚了也就離金融家不遠了哦。

『伍』 怎樣理解股票價格遵循隨機漫步或者下鞅

隨機漫步是一個缺陷很大的理論，不承認趨勢是主要缺陷之一。
隨機漫步理論總的觀點
買方與賣方兩樣聰明機智，賣方也與買方同樣聰明機智。他們都能夠接觸同樣的情報，因此在買賣雙方都認為價格公平合理時，交易才會完成；股價確切地反應股票實質。結果，股價無法在買賣雙方能夠猜測的單純，有系統情況下變動。

股價變動基本上是有隨機的說法的真正涵義是，沒有什麼單方能夠戰勝股市，股價早就反映一切了，而且股價不會有系統地變動。天真的選股方法，如對著報紙的股票版丟擲飛鏢，也照樣可以選出戰勝市場的投資組合。

隨機漫步理論(Random Walk Theory)認為，證券價格的波動是隨機的，像一個在廣場上行走的人一樣，價格的下一步將走向哪裡，是沒有規律的。證券市場中，價格的走向受到多方面因素的影響。一件不起眼的小事也可能對市場產生巨大的影響。從長時間的價格走勢圖上也可以看出，價格的上下起伏的機會差不多是均等的。
隨機漫步理論指出，股票市場內有成千上萬的精明人士，每一個人都懂得分析，而且資料流入市場都是公開的，所有人都可以知道，並無什麼秘密可言。因此，股票現在的價格就已經反映了供求關系，或者離本身價值不會太遠。所謂內在價值的衡量方法就是看每股資產值、市盈率、派息率等基本因素來決定。這些因素亦非什麼大秘密。現時股票的市價根本已經代表了千萬精明人士的看法，構成了一個合理價位。市價會圍繞著內在價值而上下波動。這些波動卻是隨意而沒有任何軌跡可循。造成波動的原因是：
（1）新的經濟、政治新聞消息是隨意，並無固定地流入市場。
（2）這些消息使基本分析人士重新估計股票的價值，而作出買賣方針，致使股票發生新變化。
（3）因為這些消息無跡可尋，是突然而來，事前並無人能夠預告估計，股票走勢推測這回事並不可以成立。
（4）既然所有股價在市場上的價錢已經反映其基本價值。這個價值是公平的由買賣雙方決定，這個價值就不會再出現變動，除非突發消息如戰爭、收購、合並、加息減息、石油戰等利好或利空等消息出現才會再次波動。但下一次的消息是利好或利空大家都不知道，所以股票現時是沒有記憶系統的。昨日升並不代表今日升。今日跌，明日可以升亦可以跌。每日與另一日之間的升跌並無相關。
（5）既然股價是沒有記憶系統的，企圖用股價波動找出一個原理去戰勝市場，贏得大市，全部肯定失敗。因為股票價格完全沒有方向，隨機漫步，亂升亂跌。我們無法預知股市去向，無人肯定一定是贏家，亦無人一定會輸。
隨機漫步理論對圖表派無疑是一個正面大敵，如果隨機漫步理論成立，所有股票專家都無立足之地。所以不少學者曾經進行研究，看這個理論的可信程度。

『陸』 誰能告訴我鞅在金融中的應用有哪些

嚴格數學意義上講，定義鞅需要測度論的知識..用途，可真是太多了.應用，金融工程（用非常高深的數學建模來構造足以化解有價證券市場漲跌風險的投資組合）等等。像給期權等金融衍生物定價，包括著名的布萊克-斯科爾斯公式，都必須使用鞅來構造數學模型

『柒』 "股票價格是鞅(martingales)"是什麼意識

鞅是一個隨機過程：已知過程在時刻s之前的變化規律的條件下 ，過程在將來某一時刻t的期望值等於過程在時刻s的值。

不是把股票價格比做鞅，而是說股票價格根本就是一個鞅——你即使了解了某股票全部的歷史變化規律，那麼利用這些規律來投資的期望超額收益還是零。

也就是說，你看到了股價的不斷波動（所謂趨勢）。但是，你關於趨勢的信息不可能為未來的投資增加收益，特別地，如果存在手續費或者稅金，收益還是負的。